TRAVAUX SCIENTIFIQUES
(Antérieurs à 1992, les références d’articles renvoient à la liste de publication)
J'ai débuté dans la Recherche en Physique Théorique avec le Professeur A. Grossmann qui m'a permis de collaborer au programme de l'étude par des méthodes d'Analyse Fonctionnelle, des problèmes de la Physique du Solide. A partir de l'année 1977, j'ai établi des contacts plus étroits avec des membres du Centre de Physique Théorique à Marseille: Ph. Combe, M. Sirugue, M. Sirugue-Collin avec qui j'ai collaboré pendant de nombreuses années. D'autres collaborations avec G. Rideau (ERA ParisVII), S. Albeverio (Bochum), Ph. Blanchard (Bielefeld), F. Guerra (Rome), R. Hoegh Krohn (Oslo) m'ont permis d'élargir mon champ de recherches.
Physique Mathématique de l'Etat Solide
Nous avons pu caractériser les propriétés spectrales des Hamiltoniens de Bloch avec des potentiels pouvant être assez singuliers. Les résultats reposent sur une formulation en termes de triades hilbertiennes, sur les espaces réduits d'une décomposition en intégrale directe, de théorèmes spectraux établissant des conditions générales sur le Hamiltonien classique associé pour que les Hamiltoniens réduits soient selfadjoints à spectre discret. Les opérateurs de type Schrodinger, Dirac, Hartree-Fock entrent dans la classe considérée ([1],[2]).
Intégrale de Feynman
Je me suis intéressé à des problèmes d'intégration fonctionnelle à une époque (1973-1978) où une activité certaine s'est manifestée autour de ce qu'il est convenu d'appeler "Aspects mathématiques de l'Intégrale de Feynman". Tout d'abord, dans [3],[5], nous avons considéré les questions d'existence de tels objets , via les techniques d'espaces de Hilbert de chemins, dans le contexte des prodistributions. L'espace des fonctionnelles intégrables est étendu pour permettre de traiter une classe plus large de potentiels. Par exemple, l'indice de Maslov pour les interactions quadratiques est obtenu directement par un processus de cylindrification approprié.
Ces premiers travaux dans le domaine de la quantification nous ont invité à poursuivre dans cette voie, en essayant de diversifier les types de systèmes physiques considérés ainsi que les méthodes utilisées. Plusieurs articles ont alors été publiés avec les rubriques suivantes: systèmes anticommutatifs, mesures de Poisson en Mécanique Quantique et Théorie des Champs, flots stochastiques sur l'espace des phases.
Systèmes anticommutatifs
Mon travail a porté sur une nouvelle méthode de quantification pour des systèmes de spins et de fermions [6]. Elle permet d'éviter l'emploi de techniques basées sur les algèbres de Grassmann. En fait, l'algèbre des relations d'anticommutation des champs de fermions (CAR) est considérée comme la C* algèbre d'un groupe abélien G pour un multiplicateur qui a été identifié ; le groupe G est construit sur le groupe des parties finies d'un ensemble au plus dénombrable L. Le cas plus général de groupes cycliques sur l'ensemble a également été considéré([10],[13]) . Des hypothèses minimales d'invariance par permutation des bicaractères sur le groupe permettent de construire toutes les * algèbres ayant un intérêt physique. Suivant les mêmes méthodes, il est possible ([11],[12]) de considérer l'algèbre des parafermions d'ordre quelconque fini. D'autre part, on décrit les observables de champs de fermions comme les quantifiés à la Weyl ([7],[8],[9]) de fonctions sur un espace des phases "classique"; cet espace est construit sur le groupe compact de toutes les parties de L. Des représentations de l'*algèbre, de type Schrodinger, des états quasi classiques sur cette algèbre sont construits. Ce parallélisme commutatif-anticommutatif, permet de concevoir une notion d'intégration fonctionnelle sur le groupe de l'espace des phases pour décrire la dynamique de ces champs de fermions. Ces travaux ont servi de support à ma thèse de Doctorat.
Mesures aléatoires de Poisson en Mécanique Quantique et en Théorie des Champs
Dans les années 1980-82, mon activite scientifique a essentiellement porté sur l'étude du rôle joué par les processus stochastiques dans les problèmes d'évolution quantique. Nous avons montré dans [14], [15], [16], [17], [18], [19], [22], [23], à la suite des travaux de V.P. Maslov et A.M. Chebotarev, que l'Intégrale de Feynman pouvait être correctement définie en termes de processus de Poisson généralisés dont les trajectoires sont, sauf pour un nombre fini d'instants, les trajectoires du mouvement classique. Le cadre approprié est celui des représentations projectives de groupes associés à une action de groupe sur un espace. Nous avons ainsi pu obtenir des résultats dans de nombreuses situations physiques incluant la Théorie des Champs (statistique de Bose et de Fermi).
?n particulier, les selfinteractions d'un champ de Bose scalaire neutre de type trigonométrique ont été étudiées ( [20],[21], [24] ) ; les valeurs moyennes de l'opérateur d'évolution entre états cohérents peuvent être écrites pour un champ sans masse, en tant qu'intégrale fonctionnelle par rapport à une mesure de probabilité. Cette approche a permis d'obtenir de nouveaux résultats pour le modèle Sine Gordon sans cutoff ultraviolet.
Flots stochastiques sur l'espace des phases
D'autres champs d'application des processus à sauts vont être mis à jour. C'est ainsi que le développement temporel des distributions jointes des positions et moments ou fonctions de Wigner, pourra être interprété en termes de tels processus ([25], [26], [27] voir aussi [4]). Ces derniers vont en fait définir dans l'espace des phases, un flot stochastique s'apparentant en plusieurs points à un flot classique, d'où une limite h tendant vers zéro possible ( h : constante de Planck )[29] . De la même manière, dans [28], la dépendance en h et en température des fonctions de Wigner correspondant à des états de Gibbs a pu être menée. Les équations stochastiques associées possèdent alors un double caractère, diffusif (Wiener et dérive) et Poissonien.
Mécanique stochastique
Dans les années 1984-85, j'ai abordé un autre thème de recherches portant sur l'interprétation, en termes de processus newtoniens, du comportement, à grande échelle, de corpuscules dans des flots turbulents ou de particules chargées en mouvement chaotique dans des champs magnétiques. La modélisation par de tels processus est justifiée dans la mesure où les forces extérieures agissant sur ces particules ont un caractère déterministe (champ gravitationnel dans le cas des couvertures nuageuses des planètes, champ magnétique dans les ceintures de Van Allen [30],[31]); la stochasticité est introduite dans un coefficient de diffusion caractérisant les perturbations à plus petite échelle. Des zones de confinement pour de tels processus peuvent être associées, de manière qualitative, à des observations expérimentales.
Mon activité s'est ensuite poursuivie dans l'étude des problèmes liés au confinement des plasmas chauds par des champs magnétiques turbulents. Nous avons pu exhiber des solutions analytiques d'équilibres magnétohydrodynamiques de plasmas toroidaux en rotation. La turbulence magnétique résultant de faibles perturbations du champ dues à des défauts d'invariance par rotation a été caractérisée de manière numérique, des estimations analytiques sur le seuil de stochasticité ont été obtenues, un modèle de transport en présence d'ilots magnétiques est proposé (une loi expérimentale, dite de Bohm, a été ainsi interprétée) [32],[33].
Enfin, je me suis intéressé à la propagation d'ondes dans les milieux fluctuants et aux phénomènes de localisation qui y sont liés [34]. Nous avons déterminé le comportement asymptotique de solutions d'équations stochastiques correspondantes. Pour certains modèles de potentiels aléatoires, on peut construire les mesures de probabilité invariantes permettant d'obtenir des comportements, en général, en loi de puissance. Il est possible ainsi de calculer, par exemple, le coefficient de Lyapounov pour des ondes électromagnétiques de haute fréquence dans des plasmas fluctuants.