Notions d'Analyse Fonctionnelle.

Préliminaires.

Espace métrique. Notions topologiques : voisinage, intérieur, ouvert, .. Ensemble compact, relativement compact. Espace topologique : définition, exemples.

Espace de Banach.

Définition. Dual. Théorème de Hahn Banach. Espace de Hilbert. Ensembles orthonormaux complets.

Théorie spectrale.

Dimension finie : fonction d'opérateur et formule de Cauchy.

Opérateurs sur un Banach. Spectre ponctuel, continu, singulier.

Opérateurs bornés : rayon spectral, calcul opérationnel. Théorème de transformation spectrale.

Opérateurs compacts. Définition, exemples, propriété du spectre.

Théorie des perturbations. Développement des projecteurs.

Opérateurs fermés (définition, théorème du graphe fermé) . Calcul opérationnel pour les opérateurs fermés non bornés.

Théorie de la mesure

Fonctions d''ensemble additives. Ensemble de mesure nulle. Convergence en mesure. Intégration de fonctions simples. Fonction mesurable. Espace de Lebesgue, inégalités de Holder, Minkowski.

Fonction d'ensemble dénombrablement additives. Sigma clan.

Mesure extérieure. Extension de Hahn. L'extension de mesures régulières. Mesure de Borel Lebesgue.

Représentation de C*(S).

Opérateurs normaux bornés dans un Hilbert.

Préliminaires.

Quelques notions sur les algèbres de Banach.

Préliminaires.

Idéaux.

Algèbres commutatives.

B*algèbres commutatives.

Opérateurs normaux sur un Hilbert.

Le théorème spectral.